从复变函数论前瞻现代物理前沿的纽结场论FROM COMPLEX ANALYSIS TO KNOTTED FIELD THEORY IN MODERN PHYSICS
卓涌荣,刘鑫
摘要(Abstract)：
本科“数学物理方法”课程中的一个重要部分是复变函数,其核心之一是复平面上的柯西积分。本文旨在向学有余力的本科生或低年级研究生介绍一个新知识点,即可以对二维C平面引进第三轴(实轴R,记作时间轴)生成(2+1)-维空间;于是C平面的柯西积分转化为这个C×R空间中的纽结缠绕数积分。缠绕数是纽结理论中的最低阶拓扑不变量,可视为一个更高阶的工具——孔采维奇积分的最简单情形。更进一步,如果同时考察含“多重关联子”的柯西积分,就可得到孔采维奇积分的一般形式(忽略后者的群因子)。这个新工具在数学领域的纽结理论和物理学领域的量子场论研究中都有重要意义。本文将按上述逻辑顺序介绍相关的概念和理论方法,为感兴趣的同学提供一条从本科理论物理基础课到科研前沿的路径。
关键词(KeyWords)： 复变函数;柯西积分;纽结理论;缠绕数;孔采维奇积分
基金项目(Foundation): 北京市自然科学基金(IS23030,Z180007);; 国家自然科学基金(11572005)
作者(Author): 卓涌荣,刘鑫
参考文献(References)：
- [1] BAR-NATAN D.Perturbative aspects of the Chern-Simons topological quantum field theory[D].New Jersey:Princeton University,June 1991. [2] BAR-NATAN D.Perturbative Chern-Simons theory[J].J Knot Theor & Its Ramif,1995,4(4):DOI:10.1142/S0218216595000247. [3] BERGER M A.Hamiltonian dynamics generated by Vassiliev invariants[J].J Phys A,2001,34(7):1363-1374. [4] BIRMAN J,LIN X-L.Knot polynomials and Vassiliev's invariants[J].1993,111(2):225-270. [5] CHMUTOV S,DUZHIN S,MOSTOVOY J.Introduction to Vassiliev knot invariants[M].Cambridge:Cambridge University Press,2011. [6] GAUSS C F.Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absoluta revocata[J].Proc R Soc London,1833,10:349-349. [7] FRANCESCO P,MATHIEU P,SENECHAL D.Conformal field theory[M].Springer:Springer Science & Business Media,1999. [8] 姜颖.数学物理方法[M].北京：科学出版社，2018. [9] KONTSEVICH M.Vassiliev's knot invariants[J].Adv Sov Math,1993,16(2):137-150. [10] LABASTIDA J M F,P??REZ E.Kontsevich integral for Vassiliev invariants from Chern-Simons perturbation theory in the light-cone gauge[J].J Math Phys,1998,39(10):5183-5198. [11] PESKIN M E,SCHROEDER D V.An introduction to quantum field theory[M].Massachusetts:Addison-Wesley Publishing Company,1995. [12] RICCA R L,LIU X.Knotted fields[M].Hong Kong:Springer-Verlag,2024. [13] RICCA R L,NIPOTI B.Gauss' linking number revisited[J].J Knot Theor Ramif,2011,20(10):1325-1343. [14] VASSILIEV V A.Cohomology of knot spaces[J].Adv Sov Math,1990,1:23-69. [15] WITTEN E.Quantum field theory and the Jones polynomial[J].Commun Math Phys,1989,121(3):351-399. [16] 杨孔庆，黄亮.数学物理方法[M].北京：高等教育出版社，2024.
- (1)关于柯西积分在洛朗展开、留数计算、解析延拓等方面应用的简要回顾,参看补充材料(https://zhuanlan.zhihu.com/p/1916946158070272230)。 (1)说明:后文所提到的“辫子图”是指天花板-地板之外无连线的图,如图1(c)、(d);而所提到的“纽结图”则指两板之外有连线、可形成完整纽结/链环的图,如图1(e)、(f)。 (2)说明:规则A即式(4)与后文第4节涉及的孔采维奇积分的相关文献中的规定保持一致。而规则B即式(5)在第4节中体现为计算之后得到的结果,因为那里的情况复杂得多。在式(5)中之所以能够直接给出结果是因为情况很简单,仅仅用到了一个关联子(ζ一z),且绕行仅一个整圈而已。 (1)群因子植根于规范理论。对规范场来说,除了有底流形坐标(z∈C,t∈R)外,还有内禀空间对称性所导致的群指标。本科生和低年级研究生可以尝试用实例来理解内禀空间:在量子力学中,自旋是独立于时空坐标的一种内禀对称性,用SU(2)群来描述;粒子物理中,同时考虑同位旋和超荷对称性,则需要使用SU(3)群来描述。一般的规范理论中的内禀对称群记为G,于是上述的弦图实质上是关联子所连接的两个群生成元之间的耦合。